Vzájemná poloha tří rovin

Rozlišujeme pět různých vzájemných poloh tří rovin, pokud žádné dvě nesplývají.

Polohy tří rovin bychom mohli rozlišovat v případech, když by byly dvě roviny totožné, nebo když by byly totožné všechny tři roviny. Tyto případy máme však již vyšetřeny v Kapitole 5.3.

Tranzitivnost rovnoběžnosti rovin

Pro tři roviny α, β, γ platí: je-li α || β a současně β || γ, potom i α || γ.

Vzájemná poloha	Průsečnice, průsečíky	Číslo obrázku	Značení
Všechny tři rovnoběžné	žádné	obr. 1	(α \|\| β) (β \|\| γ)
Dvě rovnoběžné a třetí k nim různoběžná	jedna rovina má s oběma dalšími průsečnici (dvě rovnoběžky)	obr. 2	(α \|\| β) (α β) (β γ)
Všechny tři různoběžné, tři průsečnice splynou v jednu přímku (svazek rovin)	jedna přímka	obr. 3	(α β) (α γ) (β γ)
Všechny tři různoběžné, tři průsečnice	každé dvě roviny mají jednu průsečnici (tři rovnoběžky)	obr. 4	(α β) (α γ) (β γ)
Všechny tři různoběžné, tři průsečnice procházející jediným bodem (trs rovin)	jeden bod	obr. 5	(α β) (α γ) (β γ)

Obr. 1	Všechny tři roviny jsou rovnoběžné různé, tedy nemají žádný společný bod.
Obr. 2	Dvě roviny jsou rovnoběžné a třetí rovina je protíná. Dvě přímky, které leží v průniku jsou vzájemně rovnoběžné.
Obr. 3	Tři roviny, jejich společná průsečnice je jedna přímka.
Obr. 4	Všechny roviny jsou navzájem různoběžné, v průniku každých dvou rovin je přímka a navíc všechny tři přímky jsou navzájem rovnoběžné.
Obr. 5	Všechny tři roviny mají společný jeden bod.

Úlohy

1. Máme dánu krychli ABCDEFGH. Určete pomocí vrcholů krychle všechny roviny procházející bodem A tak, aby měly s rovinami horní a dolní podstavy společné dvě rovnoběžné přímky.

Řešením jsou roviny ABF, ADH, ABG a AFG.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek

2. Máme dánu krychli ABCDEFGH. Určete vzájemnou polohu rovin ABF, DHE a FGH, určete společné body.

Roviny jsou navzájem různoběžné, mají jeden jediný společný bod a tím je vrchol E.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek

3. Máme dánu krychli ABCDEFGH. Určete pomocí vrcholů krychle k rovinám BDH a CGH třetí rovinu tak, aby všechny tři roviny měly společnou právě jednu přímku a aby žádné roviny nebyly totožné.

Řešením je jedna jediná rovina ADH.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek

4. Máme dánu krychli ABCDEFGH. Určete vzájemnou polohu rovin EFA, GHE a FCD. Určete společné body, pokud existují.

Roviny jsou různoběžné (tvoří svazek) a mají společnou průsečnici, přímku FE.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek

5. Máme dán čtyřboký jehlan ABCDV. Určete pomocí vrcholů jehlanu k rovinám BCD a BCV třetí rovinu tak, aby roviny měly společný pouze jeden bod.

Řešením jsou roviny ABV a CDV.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek

6. Máme dán čtyřboký jehlan ABCDV. Určete k rovinám BCV a DAV třetí tak, aby měly každé dvě roviny jednu průsečnici (celkem tři rovnoběžné přímky).

Řešením je rovina dolní podstavy, tedy rovina ABCD.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek